Чему равна сумма ряда xⁿ/n

28.06.2025 в 21:42

Рассмотрим степенной ряд вида ∑(xn/n) и определим его сумму при различных условиях.

Формулировка задачи

Требуется найти сумму бесконечного ряда:

Область сходимости ряда

Используя признак Даламбера, определяем радиус сходимости:

• limn→∞ |an+1/an| = limn→∞ |xn+1/(n+1) * n/xn| = |x|
• Ряд сходится при |x| < 1
• При x = 1 получаем гармонический ряд (расходится)
• При x = -1 получаем знакочередующийся гармонический ряд (сходится)

Вычисление суммы ряда

Для |x| < 1 просуммируем ряд:

1. Заметим, что xn/n = ∫0x tn-1dt
2. Поменяем порядок суммирования и интегрирования:

   S(x) = ∑n=1∞ ∫0x tn-1dt = ∫0x (∑n=1∞ tn-1)dt

3. Сумма под интегралом - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:

   ∑n=1∞ tn-1 = 1/(1-t) для |t| < 1

4. Интегрируем:

   S(x) = ∫0x dt/(1-t) = -ln|1-x|

Итоговый результат

Примеры частных случаев

• При x = 1/2:

  ∑(1/2)n/n = -ln(1/2) = ln2 ≈ 0.6931

• При x = -1/2:

  ∑(-1/2)n/n = -ln(3/2) ≈ -0.4055

Применение ряда

Данный ряд используется в:

1. Теории вероятностей
2. Вычислительной математике
3. Физике для аппроксимации функций
4. Экономических расчетах

Таким образом, сумма ряда ∑(xn/n) равна -ln(1-x) при |x| < 1 и сходится к -ln2 при x = -1.